Calcul des tangentes extérieures à 2 cercles

L’objectif est ici de calculer les coordonnées des points de raccordement des tangentes à 2 cercles (cf. figures ci-dessous).

 

Deux cas sont à considérer :

  1. le cas général pour lequel R_1 \neq R_2,
  2. le cas pour lequel R_1 = R_2.
circles_tangent_steps_final
circles_idem_final
(cercles où R_1 \ne R_2) (cercles où R_1 = R_2)

Remarque : Autant que faire ce peut, nous pousserons le vice jusqu’à simplifier les équations au maximum .

 

1- Cas où R_1 \neq R_2

1-1 Le principe

En commençant par le cas général, pour lequel les 2 rayons sont différents (et non nul bien entendu), nous mettrons en évidence certaines particularités …

A l’instar du post sur les congés de raccordement (voir le post des congés de raccordement pour de plus amples informations), les points de tangence sont les intersections entre les cercles :

  • \mathcal{C'}_1 de centre A' milieu de \left[ AC \right] et de rayon {R'}_1 = \frac{1}{2} || AC ||,
  • \mathcal{C'}_2 de centre B' milieu de \left[ BC \right] et de rayon {R'}_2 = \frac{1}{2} || BC ||.
circles_tangent_principe
(Principe de détermination des points de tangence)

 

1-2) Calcul de centre d’homothétie C

Dès lors que R_1 \neq R_2, il existe une homothétie de centre C qui transforme \mathcal{C}_1 en \mathcal{C}_2 (voir figure ci-dessous).

circles_tangent_steps_1
(cas où R_1 \neq R_2)

 

Soit le point C de coordonnées \left( \begin{array}{c} x_C\\ y_C \end{array} \right)

D’après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire que \frac{R_2}{R_1}=\frac{[ BC ]}{[ AC ]} = \frac{[ CB ]}{[ CA ]}.

Donc R_2 \cdot || CA || = R_1 \cdot ||CB ||, ou encore  R_2 \left( \begin{array}{c} x_A - x_C \\ y_A - y_C \end{array} \right) = R_1 \left( \begin{array}{c} x_B - x_C \\ y_B - y_C \end{array} \right)

D’où le système
 \left\lbrace \begin{array}{l} R_2 \left( x_A - x_C \right) = R_1 \left( x_B - x_C \right) \\ R_2 \left( y_A - y_C \right) = R_1 \left( y_B - y_C \right) \end{array} \right.

 

Et donc après calculs, le point C s’exprime :

(1)   \begin{equation*} \fbox{$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_C = \left( \frac{R_2}{R_2 - R_1} \right) x_A - \left( \frac{R_1}{R_2 - R_1} \right) x_B \\ y_C = \left( \frac{R_2}{R_2 - R_1} \right) y_A - \left( \frac{R_1}{R_2 - R_1} \right) y_B \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

 

1-3) Calcul des points tangents à \mathcal{C}_1

Comme dit précédemment, ce sont les intersection des cercles \mathcal{C}_1 et \mathcal{C'}_1 tels que :

 \left\lbrace \begin{array}{rl} \mathcal{C}_1 : & \left( x - x_A \right)^2 + \left( y - y_A \right)^2 = R_1^2 \\ \mathcal{C'}_1: & \left( x - x_{A'} \right)^2 + \left( y - y_{A'} \right)^2 = {R'}_1^2 \\ \end{array} \right.

(Rappelons que A' est le milieu de [AC]).

 

En soustrayant l’équation de \mathcal{C'}_1 à celle de \mathcal{C}_1, nous aboutissons à l’équation :

 y = - \left( \frac{x_{A'} - x_A}{y_{A'} - y_A} \right)x + \left[ \frac{\left( R_1^2 - {R'}_1^2 \right) - \left( x_A^2 - x_{A'}^2 \right) - \left( y_A^2 - y_{A'}^2 \right)}{2 \left( y_{A'} - y_A \right)} \right]

 

Que nous réécrivons y = \alpha_1 x + N_1 avec \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1 = \left( \frac{x_{A'} - x_A}{y_{A'} - y_A} \right) \\ N_1 = \left[ \frac{\left( R_1^2 - {R'}_1^2 \right) - \left( x_A^2 - x_{A'}^2 \right) - \left( y_A^2 - y_{A'}^2 \right)}{2 \left( y_{A'} - y_A \right)} \right] \end{array} \right.

 

Puisque A' est le milieu de [AC], donc \left\lbrace \begin{array}{l} x_{A'} = \frac{1}{2} \left( x_A + x_c \right) \rightarrow \left( x_{A'} - x_A \right) = \frac{x_C - x_A}{2} \\ y_{A'} = \frac{1}{2} \left( y_A + y_c \right) \rightarrow \left( y_{A'} - y_A \right) = \frac{y_C - y_A}{2} \end{array} \right.

 

En injectant Eq (1) dans les équations précédentes, nous obtenons :
\left\lbrace \begin{array}{l} \left( x_{A'} - x_A \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{R_1}{R2 - R_1} \right) \left( x_A - x_B \right)\\ \left( y_{A'} - y_A \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{R_1}{R2 - R_1} \right) \left( y_A - y_B \right) \end{array} \right.

 

Ce qui permet de réécrire :

(2)   \begin{equation*} \fbox{$ \alpha_1 = \left( \frac{x_{A'} - x_A}{y_{A'} - y_A} \right) = \left( \frac{x_A - x_B}{y_A - y_B} \right)  $} \end{equation*}

sachant que :
\left\lbrace \begin{array}{l} {R'}_1 = \frac{1}{2}\left[  AC \right] \text{ alors }{R'}_1^2 = \frac{1}{4} \left[ AC \right]^2 = \frac{1}{4} \left( x_A - x_C \right)^2 + \frac{1}{4} \left( y_A - y_C \right)^2 \\ \text{or } \left( x_{A'} - x_A \right) = \frac{x_C - x_A}{2} \\ \text{et }\left( y_{A'} - y_A \right) = \frac{y_C - y_A}{2} \\ \text{donc }{R'}_1^2 \text{ se r\'e\'ecrit } {R'}_1^2 = \left( x_A - x_{A'}\right)^2 + \left( y_A - y_{A'}\right)^2 \\ \text{en r\'einjectant dans}N_1\text{, on aboutit \`a } N_1 = \left[ \frac{R_1^2 - 2 x_A^2 - 2 y_A^2 + 2 x_A x_{A'} + 2 y_A y_{A'}}{2 \left( y_{A'} - y_A \right)} \right] \end{array} \right.

 

A partir de l’eq. (1), les termes « primes » se recalculent :
\left\lbrace \begin{array}{l} x_{A'} = \left( \frac{x_A + x_C}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2 R_2 x_A - R_1 x_A - R_1 x_B}{R_2 - R_1} \right) \\ y_{A'} = \left( \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2 R_2 y_A - R_1 y_A - R_1 y_B}{R_2 - R_1} \right) \\ 2 x_A x_{A'} = x_A \left[ \left( \frac{2 R_2 - R_1}{R_2 - R_1} \right) x_A - \left( \frac{R_1}{R_2 - R_1} \right)x_B \right] \\ 2 y_A y_{A'} = y_A \left[ \left( \frac{2 R_2 - R_1}{R_2 - R_1} \right) y_A - \left( \frac{R_1}{R_2 - R_1} \right)y_B \right] \end{array} \right.

 

En reprenant toutes les équations précédentes, en les injectant dans N_1 (on secoue allègrement et longuement … ) pour finalement tomber sur :

(3)   \begin{equation*} \fbox{$ N_1 = \left( \frac{R_1 R_2 - R_1^2 + x_A^2 + y_A^2 - x_A x_B - y_A y_B}{y_A - y_B} \right)  $} \end{equation*}

 

Les expressions de \alpha_1 et N_1 sont réintroduites dans l’équation de \mathcal{C}_1 pour aboutir à une équation du second degré :
A_1 x^2 + B_1 x + C_1 = 0 avec  \left\lbrace \begin{array}{l} A_1 = \left( 1 + \alpha_1 \right)^2 \\  B_1 = 2 \alpha_1 \left( y_A - N_1 \right) - 2 x_A \\ C_1 = \left( x_A^2 + y_A^2 \right)  + N_1 \left( N_1 - 2 y_A \right) - R_1^2 \end{array} \right.

Dès lors

(4)   \begin{equation*} \fbox{$\left\lbrace \begin{array}{l} \Delta_1 = B_1^2 + 4 A_1 C_1 \\  x_{1i} = \frac{- B_1 + k_{1i} \sqrt{\Delta_1}}{2 A_1} \text{ avec } k_{1i} = \pm 1 \text{ et } i=1,2\\ y_{1i} = - \alpha_1 x_{1i} + N1 \text{ avec }i=1,2 \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

 

 

1-4) Calcul des points tangents à \mathcal{C}_2

En procédant comme précédemment (et afin de ne pas surcharger le présent document), nous ne présenterons ici que les principaux résultats :

(5)   \begin{equation*} \fbox{$ \alpha_2 = \left( \frac{x_B - x_B}{y_B - y_A} \right) = \left( \frac{x_A - x_B}{y_A - y_B} \right) = \alpha_1  $} \end{equation*}

et

(6)   \begin{equation*} \fbox{$ N_2 = \left( \frac{R_2^2 - R_1 R_2 + x_A x_B + y_A y_B - \left( x_B^2 + y_B^2 \right) }{y_A - y_B} \right)  $} \end{equation*}

 

On réinjecte dans l’équation de \mathcal{C}_2 pour obtenir : \left\lbrace \begin{array}{l} A_2 = \left( 1 + \alpha_2 \right)^2 \\  B_2 = 2 \alpha_2 \left( y_B - N_2 \right) - 2 x_B \\ C_2 = \left( x_B^2 + y_B^2 \right) + N_2 \left( N_2 - 2 y_B \right) - R_2^2 \end{array} \right.

 

Et donc : 

(7)   \begin{equation*} \fbox{$\left\lbrace \begin{array}{l} \Delta_2 = B_2^2 + 4 A_2 C_2 \\  x_{2i} = \frac{- B_2 + k_{2i} \sqrt{\Delta_2}}{2 A_2} \text{ avec } k_{2i} = \pm 1 \text{ et } i=1,2\\ y_{2i} = - \alpha_2 x_{2i} + N2 \text{ avec }i=1,2 \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

Discussions sur les valeurs de k_{1i} et de k_{2i} :

Nous savons que les angles \widehat{A T_{1i} C} et \widehat{B T_{2i} C} (avec i=1,2) sont droits ; dès lors le \cos de l’angle est nul.

 

L’algorithme pourrait être du genre

Pour k1 = 1
si cos(angle(T_i A C)) = 0 +/- precision
	alors ok
	sinon k1 = -1
fin si

 

D’une autre façon, nous pouvons noter que le signe de k_{11} et de k_{21} est l’inverse de celui du coefficient directeur m (rappel : m coefficient directeur de la droite (AB)) :

– si m > 0 alors \left\lbrace \begin{array}{l} T_{i1} \rightarrow k_{i1} = -1 = -\text{sign}(m) \text{ avec } i =1,2 \\  T_{i2} \rightarrow k_{i2} = +1 = +\text{sign}(m) = -k_{11} \text{ avec } i =1,2 \end{array} \right.

– si m < 0 alors \left\lbrace \begin{array}{l} T_{i1} \rightarrow k_{i1} = +1 = +\text{sign}(m) \text{ avec } k =1,2\\  T_{i2} \rightarrow k_{i2} = -1 = -\text{sign}(m) = -k_{11} \text{ avec } k =1,2 \end{array} \right.

 

Remarques:

  • rappelons que le cas m = 0 (c’est-à-dire y_A = y_B) est un cas traité à part,
  • T_{11} et T_{21} peuvent être vus comme les points de tangence supérieurs respectivement de \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2;
  • et T_{11},  T_{21} sont les points inférieurs

 

 

Fort de toutes les remarques précédentes, les équations (4)  et (7) se réécrivent :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_{11} = \frac{- B_1 + k_1 \sqrt{\Delta_1}}{2 A_1} \\ y_{11} = - \alpha_1 x_{11} + N1  \end{array} \right)T_{12} =  \left( \begin{array}{c} x_{12} = \frac{- B_1 - k_1 \sqrt{\Delta_1}}{2 A_1} \\ y_{12} = - \alpha_1 x_{12} + N1  \end{array} \right) ;

T_{21} =  \left( \begin{array}{c} x_{21} = \frac{- B_2 + k_1 \sqrt{\Delta_2}}{2 A_2} \\ y_{21} = - \alpha_2 x_{21} + N2  \end{array} \right)T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_{22} = \frac{- B_2 - k_1 \sqrt{\Delta_2}}{2 A_2} \\ y_{22} = - \alpha_2 x_{22} + N2  \end{array} \right) ;

(avec k_1 = - \text{sign}(m)).

 

 

1-5) Cas particuliers

Les équations (2), (3), (5) et (6) montrent qu’il est nécessaire de traiter les cas où x_A = x_B (idem pour y_A = y_B) c’est-à-dire quand le(s) dénominateur(s) devien(en)t nul(s).

 

a) cas où y_A = y_B

cas_general2
(cas où y_A = y_B)

Les calculs précédents sont repris depuis le début en notant que y_A = y_B = y_C ; le système se ramène alors à :

 

Pour le cercle \mathcal{C}_1

(8)   \begin{equation*} \fbox{$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{11} = x_{12} = x_1 = \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A^2 - x_A x_B}{x_A - x_B}  \\ y_{1i} = y_A + k_{1i} R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2}  \text{ avec } k_{1i} = \pm 1 \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

Pour le cercle \mathcal{C}_2

(9)   \begin{equation*} \fbox{$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{21} = x_{22} = x_2 = \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A x_B - x_B^2}{x_A - x_B}  \\ y_{2i} = y_B + k_{2i} R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2}   \text{ avec } k_{2i} = \pm 1 \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

Discussions sur les valeurs de k_{1i} et k_{2i} :
Assez simplement, puisque x_{11} = x_{12} = x_1 et x_{21} = x_{22} = x_2, alors :

  • si k_{11}=+1 et k_{21}=+1, alors nous sommes sur les points y_{11} et y_{21} que nous avons choisis par convention comme les points supérieurs,
  • et k_{21}=-1=-k_{11} et k_{22}=-1=-k_{21}, alors nous sommes sur les points y_{12} et y_{22} qui sont les points inférieurs.

 

En ne considérant qu’une unique variable k_1, les équations se simplifient :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A^2 - x_A x_B}{x_A - x_B} \\ y_A + k_1 R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2} \end{array} \right)  ;  T_{12} =  \left( \begin{array}{c} \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A^2 - x_A x_B}{x_A - x_B} \\ y_A - k_1 R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2} \end{array} \right)  ;  

T_{21} =  \left( \begin{array}{c} \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A x_B - x_B^2}{x_A - x_B}  \\ y_B + k_1 R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2}  \end{array} \right)  ;  T_{22} =  \left( \begin{array}{c} \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + x_A x_B - x_B^2}{x_A - x_B}  \\ y_B - k_1 R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{x_A - x_B} \right)^2}  \end{array} \right)  ;  

 

 

b) cas où x_A = x_B

cas_general4 cas_general3
(cas où x_A = x_B)

 

Les résultats précédents sont repris en notant que x_A = x_B = x_C, et par permutation circulaire, le système se ramène à :

 

Pour le cercle \mathcal{C}_1

(10)   \begin{equation*} \fbox{$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{1i} = x_A + k_{1i} R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2}  \text{ avec } k_{1i} = \pm 1 \\ y_1 = \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A^2 - y_A y_B}{y_A - y_B} \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

Pour le cercle \mathcal{C}_2

(11)   \begin{equation*} \fbox{$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{2i} = x_B + k_{2i} R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2}  \text{ avec } k_{2i} = \pm 1 \\ y_2 = \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A y_B - y_B^2}{y_A - y_B} \end{array} \right.  $} \end{equation*}

 

Discussions sur les valeurs de k_{1i} et k_{2i} :

Toujours par permutation circulaire :

  • si k_{11}=+1 et k_{21}=+1, alors nous sommes sur les points y_{11} et y_{21} qui étaient  les points supérieurs et qui passent à droite,
  • et si k_{12}=-1=-k_{11} et k_{22}=-1=-k_{21},  les points y_{12} et y_{22} passent à gauche.

 

En ne considérant qu’une unique variable k_1, les équations se simplifient :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_A + k_1 R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2} \\ \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A^2 - y_A y_B}{y_A - y_B} \end{array} \right)  ;  T_{12} =  \left( \begin{array}{c} x_B - k_1 R_1 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2} \\ \frac{R_1 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A^2 - y_A y_B}{y_A - y_B} \end{array} \right)  ;  

 

T_{21} =  \left( \begin{array}{c} x_B + k_1 R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2}  \\ \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A y_B - y_B^2}{y_A - y_B} \end{array} \right)  ;  T_{22} =  \left( \begin{array}{c} x_B - k_1 R_2 \sqrt{1 - \left( \frac{R_2 - R_1}{y_A - y_B} \right)^2}  \\ \frac{R_2 \left(R_2 - R_1 \right) + y_A y_B - y_B^2}{y_A - y_B} \end{array} \right)  ;  

 

 

2) Cas particulier R_1R_2

 

R1_eq_R2_cas1 R1_eq_R2_cas2
(cas x_A \neq x_B et y_A \neq y_B) (cas x_A \neq x_B et y_A = y_B)
R1_eq_R2_cas3  
(cas x_A =x_B et y_A \neq y_B)  

 

Pas de centre d’homothétie puisque la tangente est parallèle à la droite (AB). Dès lors 2 approches sont possibles :

  • par le calcul des équations des tangentes faisant appel aux dérivées,
  • par le calcul de la distance d d’un point de la tangente à la droite (AB), sachant que d = \frac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}ax + by + c = 0 est l’équation de (AB).

 

Nous ne traiterons ici que de l’approche par les dérivées (cas 1.).

 

2-1 Cas général

Rappelons d’abord que, puisque les 2 droites sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur m qui s’exprime :

(12)   \begin{equation*} \fbox{$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \left( \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \right)  $} \end{equation*}

 

Rappelons que R_1 = R_2 = R ; les équations des cercles s’expriment donc :\left\lbrace \begin{array}{rl} \mathcal{C}_1 : & \left( x - x_A \right)^2 + \left( y - y_A \right)^2 = R^2 \\ \mathcal{C}_2: & \left( x - x_B \right)^2 + \left( y - y_B \right)^2 = R^2 \\ \end{array} \right.

(où f'(x) et g'(x) sont les fonctions dérivées de f(x) et g(x)).

 

Que l’on réécrit :
\left\lbrace \begin{array}{rl} \mathcal{C}_1 : & f(x) = y = y_A + k_{1i} \sqrt{R^2 - \left( x - x_A \right)^2} \\ \mathcal{C}_2: & g(x) = y = y_B + k_{2i} \sqrt{R^2 - \left( x - x_B \right)^2} \end{array} \right.
avec k_{1i} = \pm 1 et  k_{2i} = \pm 1

 

N’oublions les expressions générales des tangentes aux points T_{1i} et T_{2i} :

\left\lbrace \begin{array}{l} y = f' \left( x_{T_{1i}}\right) \left( x - x_{T_{1i}} \right) + f \left( x_{T_{1i}} \right) \\ \text{ avec }f' \left( x \right) = k_{1i} \frac{x_A - x}{\sqrt{R^2 - \left( x - x_A \right)^2}} \text{ o\`u } k_{1i} = \pm 1 \end{array} \right.

 

\left\lbrace \begin{array}{l} y = f' \left( x_{T_{1i}}\right) \left( x - x_{T_{1i}} \right) + f \left( x_{T_{1i}} \right) \\ \text{ avec }g' \left( x \right) = k_{2i} \frac{x_B - x}{\sqrt{R^2 - \left( x - x_B \right)^2}} \text{ o\`u }k_{2i} = \pm 1 \end{array} \right.

 

En T_{1i}, f' \left( x_{T_{1i}}\right) = m,

c’est-à-dire f' \left( x_{T_{1i}} \right) = k_{1i} \frac{x_A - x_{T_{1i}}}{\sqrt{R^2 - \left( x_{T_{1i}} - x_A \right)^2}} = m

 

D’où après développement

(13)   \begin{equation*} \fbox{$ x_{T_{1i}} = x_A + k_{1i} \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}}  $} \end{equation*}

 

En réinjectant (13) dans l’équation du cercle (et en notant au cours du développement que k_{1i}^2 = 1), alors :

(14)   \begin{equation*} \fbox{$ y_{T_{1i}} = y_A + k_{2i} R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}}  $} \end{equation*}

 

Nous procédons de même pour T_{2i} avec g' \left( x_{T_{1i}}\right) :

(15)   \begin{equation*} \fbox{$ x_{T_{2i}} = x_B + k_{1i} \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}}  $} \end{equation*}

et

(16)   \begin{equation*} \fbox{$ y_{T_{2i}} = y_B + k_{2i} R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}}  $} \end{equation*}

 

 

Discussions sur les valeurs de k1 et k_2 :
Pour k_1 : Tout comme le cas général, les signes de k_{1i} et k_{2i} dépendent de celui du coefficient directeur m:

– si m > 0 alors \left\lbrace \begin{array}{l} T_{i1} \rightarrow k1_{i1} = -1 = -\text{sign}(m) \text{ avec } i =1,2 \\  T_{i2} \rightarrow k1_{i2} = +1 = +\text{sign}(m) = -k_{11} \text{ avec } i =1,2 \end{array} \right.

– si m < 0 alors \left\lbrace \begin{array}{l} T_{i1} \rightarrow k1_{i1} = +1 = +\text{sign}(m) \text{ avec } i =1,2\\  T_{i2} \rightarrow k1_{i2} = -1 = -\text{sign}(m) = -k_{11} \text{ avec } i =1,2 \end{array} \right.

 

Pour k_2 : nous noterons que c’est le signe opposé de celui de k_1

 

Ce qui revient à écrire en utilisant une unique variable k_1k = - \text{sign}(m) :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_A + k_1 \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}} \\ y_A - k_1 R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}} \end{array} \right)  ;  T_{12} =  \left( \begin{array}{c} x_A - k_1 \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}} \\ y_A + k_1 R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}} \end{array} \right)  ;  

 

T_{21} =  \left( \begin{array}{c} x_B + k_1 \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}} \\ y_B - k_1 R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}} \end{array} \right)  ;  T_{22} =  \left( \begin{array}{c} x_B - k_1 \frac{m R}{\sqrt{1 + m^2}} \\ y_B + k_1 R \sqrt{1 + \frac{m^2}{1+m^2}} \end{array} \right)

 

 

2-2 Cas où y_A = y_B

Les équations sont assez simples  et se ramènent à :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_A \\ y_A + R  \end{array} \right)  ;  T_{12} =  \left( \begin{array}{c} x_A  \\ y_A -  R  \end{array} \right)  ;  T_{21} =  \left( \begin{array}{c} x_B \\ y_B + R  \end{array} \right)  ;  T_{22} =  \left( \begin{array}{c} x_B  \\ y_B - R  \end{array} \right)

Notons que les relations précédentes (voir paragraphe 2-1) sont valables ( m = 0 dans ce cas particulier).

 

 

2-3 Cas où x_A = x_B

Les équations générales ne peuvent s’appliquer puisque (x_A - x_B) est au dénominateur ; le système est toutefois assez simple et il se ramène à :

T_{11} =  \left( \begin{array}{c} x_A + R\\ y_A  \end{array} \right)  ;  T_{12} =  \left( \begin{array}{c} x_A  - R\\ y_A   \end{array} \right)  ;  T_{21} =  \left( \begin{array}{c} x_B + R\\ y_B  \end{array} \right)  ;  T_{22} =  \left( \begin{array}{c} x_B  - R\\ y_B  \end{array} \right)

 

 

 

3) Vérifications

 cas_general1  cas_general2
 cas_general4 R1_eq_R2_cas2